1. Perhitungan Ulang Distribusi Probabilitas Gumbel
Rumus untuk
perhitungan Distribusi Probabilitas Gumbel di bawah ini
XT = X + S x K
dimana :
XT = hujan rencana (mm)_
X = nilai rata-rata dari hujan
S = Standar deviasi dari data hujan
K = Faktor frekuensi Gumbel : K
= Yt – Yn
_______
Sn
Yt = reduced variate (lampiran tabel)
Sn = reduced standar (lampiran tabel)
Yn = reduced mean (lampiran tabel)
Contoh
Perhitungan
Diketahui data hujan harian maksimum 10
tahun pengamatan seperti tertera dalam tabel. Hitunglah besar curah rencana
dengan periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun berdasarkan Distribusi
Probabilitas Gumbel.
Tabel Perhitungan Parameter
Statistik
* Hitung nilai rata-rata ( X )
X = Σ (Xi) n = 1649 n
= 164,9
10 10
*) Hitung Deviasi
Standar
(S)
_ 0,5
0,5
S = Σ( Xi – X)2
= 26784,9
_______
_______
(bentuk akar bisa disederhanakan menjadi
X 0,5)
10 -1
9
S
= 54,55
*) Hitung Faktor Frekuensi (K) dan Hujan Rencana (XT)
Dengan jumlah data (n) = 10 maka didapat nilai Sn dan Yn
yang diambil dari lampiran :
Sn
|
0,9971
|
Yn
|
0,5070
|
Nilai Yt yang diambil lampiran
Periode Ulang
T (tahun)
|
Yt
|
2
|
0,3065
|
5
|
1,4999
|
20
|
2,9702
|
50
|
3,9019
|
100
|
4,6001
|
Lalu kemudian hitung hujan rencana untuk periode ulang 2
tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun dengan Yt untuk masing-masing
periode ulang dan hasil perhitungannya tertera dalam tabel di bawah ini;
2. Perhitungan Hujan Rencana dengan
Distribusi Probabilitas Log Pearson Type III
Rumus yang digunakan
dalam metode Distribusi Probabilitas Log Pearson Type III adalah sebagai
berikut :
Log
XT = Log X + (KT x S Log X)
Keterangan rumus :
Log XT = nilai logaritma hujan rencana
dengan periode ulang T
Log XT = nilai rata-rata dari log X
= Σ Log Xi
______
n
S Log X = Deviasi standar dari Log X
= 0,5
S
Log X = Σ(Log Xi – LogX)2
_____________
10
-1
KT = Variabel standar,
besarnya tergantung koefisien kepencengan (Cs atau G pada tabel frekuensi KT
untuk Distribusi Log Perason Type III)
Contoh
Perhitungan!
Untuk contoh perhitungan kita masih
gunakan data curah hujan maksimum (Xi) yang digunakan pada pembahasan
sebelumnya dan kita akan coba hitung hujan rencana periode ulang 2 tahun, 5,
20, 50 dan 100 tahun menggunakan metode Distribusi Probabilitas Log Pearson
Type III
*) Hitung nilai rata-rata Log X :
____
Log X = Σ Log Xi
______
n
= 21,9711
________
10
n= 2,1971
*) Hitung S log X (deviasi standar dari Log X)
Pertama cari nilai Cs terlebih dahulu :*) Hitung nilai KT
____
Cs = n x Σ(Log Xi –
LogX) 3
10 x
0,00100
_________________ = _________________ S = 0,054
(n-1) (n-2) (S Log X)3 (10-1)
(10-2) (0,1369)3
Nilai Cs yang sudah didapat dipakai
untuk mencari nilai T pada lampiran Tabel Frekuensi KT untuk Distribusi Log
Pearson Type III, maka didapat :
T = 2 dan
Cs = 0,541 maka nilai KT = - 0,018
T = 5 dan Cs = 0,541 maka nilai KT = 0,837
T = 20 dan Cs
= 0,541 maka nilai KT = 1,685
T = 50 dan Cs
= 0,541 maka nilai KT = 2,108
T = 100 dan Cs = 0,541 maka nilai KT = 2,401
Hujan rencana untuk periode ulang 2
tahun (X2) :
_____
1. Log X2 = Log X + (KT x
S Log X) = 2,1971 + (-0,018 x 0,1369)
= 2,1946
X2 =
156,53 mm
2. Hujan rencana untuk periode ulang 5 tahun
(X5) :
_____
Log X5 = Log X +
(KT x S Log X) = 2,1971 + (0,837 x 0,1369)
= 2,3116
X5 = 204,92 mm
3. Hujan
rencana untuk periode ulang 20 tahun (X20) :
_____
Log X20 = Log X +
(KT x S Log X) = 2,1971 + (1,685 x 0,1369)
= 2,4277
X20 = 267,73 mm
4. Hujan
rencana untuk periode ulang 50 tahun (X50) :
_____
Log X50 = Log X +
(KT x S Log X) = 2,1971 + (2,108 x 0,1369)
= 2,4856
X50 = 305,91 mm
5. Hujan
rencana untuk periode ulang 100 tahun (X100) :
_____
Log X100 = Log X
+ (KT x S Log X) = 2,1971 + (2,401 x 0,1369)
= 2,5257
X100 = 335,50 mm
3. Hujan rencana
dengan probabilitas normal
Rumus untuk
menghitung hujan rencana dengan probabilitas normal adalah sebagai berikut :
__
XT = X + KTS
Keterangan rumus :
XT = hujan rencana dengan periode ulang
T tahun
_
X = nilai rata-rata dari data hujan (X) mm.
S = Standar deviasi dari data hujan (X)
mm.
KT = faktor frekuensi,
nilainya tergantung dari T (lampiran tabel Variabel Reduksi Gauss)
Contoh Perhitungan
Agar lebih jelas langsung kita masuk
dalam perhitungan. Untuk perhitungan kita pakai data curah hujan maksimum pada
pembahasan Distribusi Probabilitas Gumbel. Akan hitung hujan rencana periode
ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun menggunakan metode Probabilitas Normal.
*) Cara perhitungan nilai rata-rata dan
standar deviasi sudah dibahas pada pembahasan sebelumnya dan sudah terlampir
dalam tabel tinggal masukan saja.
*) Kemudian yang dilakukan adalah
menghitung nilai KT
Nilai KT berdasarkan nilai T
yang diambil dari lampiran tabel Variabel Reduksi Gauss, nilai T untuk beberapa
periode ulang tahun sebagai berikut :
Untuk T = 2 maka nilai KT = 0
Untuk T = 5 maka nilai KT = 0,84
Untuk T = 20 maka nilai KT = 1,64
Untuk T = 50 maka nilai KT = 2,05
Untuk T = 100 maka nilai KT = 2,33
*) Hitung hujan rencana dengan memasukan nilai yang sudah
diketahui kedalam rumus maka ;
Hujan rencana untuk periode ulang 2 tahun (X2)
:
__
XT = X + KTS = 164,9 + (0 x 54,55) = 164,9 mm
Hujan rencana untuk periode ulang 5
tahun (X5) :
__
XT = X + KTS = 164,9 + (0,84
x 54,55) = 210,73 mm
Hujan rencana untuk periode ulang 20
tahun (X20) :
__
XT = X + KTS = 164,9 + (1,64
x 54,55) = 254,37 mm
Hujan rencana untuk periode ulang 50
tahun (X50) :
__
XT = X + KTS = 164,9 + (2,05
x 54,55) = 276,73 mm
Hujan rencana untuk periode ulang 100
tahun (X100) :
__
XT = X + KTS = 164,9 + (2,33
x 54,55) = 292.01 mm
4. Metode Distribusi
Probabilitas Log Normal
Perbedaan metode ini dengan dua metode Probabilitas
Normal dalah metode ini menggunakan fungsi logaritma. logaritma adalah invers
dari perpangkatan. Rumus yang digunakan dalam metode
Distribusi Probabilitas Normal adalah sebagai berikut :
_____
Log XT = Log X +
(KT x S Log X)
Keterangan rumus :
Log XT = nilai logaritma hujan rencana dengan
periode ulang T
_____
Log XT = nilai rata-rata dari log X =
Σ Log Xi
______
n
S Log X = Deviasi standar dari Log X =
0,5
S
Log X = Σ(Log Xi – LogX)2
_____________
10
-1
KT = faktor frekuensi, nilainya tergantung dari T
(lampiran tabel Variabel Reduksi Gauss)
Contoh Perhitungan
Untuk contoh perhitungan kita masih
pake data curah hujan maksimum (Xi) yang digunakan pada Distribusi Probabilitas
Gumbel dan kita akan coba hitung hujan rencana periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50
dan 100 tahun menggunakan metode Distribusi Probabilitas Log Normal
*) Hitung nilai rata-rata Log X :
_____
Log X = Σ Log Xi
_______
n
= 21,9711
10
=
2,1971
*) Hitung S log X (deviasi standar dari Log X)
*) Hitung nilai KT
Nilai KT berdasarkan nilai T
yang diambil dari lampiran tabel Variabel Reduksi Gauss, nilai T untuk beberapa
periode ulang tahun sebagai berikut :
Untuk T = 2 maka nilai KT = 0
Untuk T = 5 maka nilai KT = 0,84
Untuk T = 20 maka nilai KT = 1,64
Untuk T = 50 maka nilai KT = 2,05
Untuk T = 100 maka nilai KT = 2,33
*) Hitung hujan rencana
Hujan rencana untuk periode ulang 2
tahun (X2) :
_____
1.
Log X2 = Log X + (KT x S Log X) = 2,1971 + (0 x
0,1369)
= 2,1971
X2 = 157,440
mm
2.
Hujan rencana untuk periode ulang 5 tahun (X5) :
_____
Log X5 = Log X + (KT
x S Log X) = 2,1971 + (0,84 x 0,1369)
= 2,3122
X5 = 205, 200 mm
3.
Hujan rencana untuk periode ulang 20 tahun (X20) :
_____
Log X20 = Log X + (KT
x S Log X) = 2,1971 + (1,64 x 0,1369)
= 2,4218
X20 = 264.095 mm
4.
Hujan rencana untuk periode ulang 50 tahun (X50) :
_____
Log X50 = Log X + (KT
x S Log X) = 2,1971 + (2,05 x 0,1369)
= 2,4779
X50 = 300.554, 12 mm
5.
Hujan rencana untuk periode ulang 100 tahun (X100) :
_____
Log X100 = Log X + (KT
x S Log X) = 2,1971 + (2,33 x 0,1369)
= 2,5163
X100 = 328,304 mm
Demikianlah hasil
perhitungan hujan rencana untuk periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun.
Mungkin kalian sedikit bingung pada pemakaian fungsi logaritma pada perhitungan
diatas, misalnya :
_____
Log X2 = Log X + (KT
x S Log X) = 2,1971 + (0 x 0,1369)
= 2,1971
X2 = 157,43
157,43
itu dari mana ? Logaritma itu merupakan invers dari perpangkatan. Untuk
mendapatkan nilai tersebut cara mudahnya itu hitung pake kalkulator tekan SHIFT LOG 2,1971 =, akan muncul angka
157,4345329. (*)
Rekap Hasil Perhitungan Hujan Rencana Untuk Empat Metode yang
Dipakai
====== SEMOGA BERMANFAAT ======
